Höhensatz 
Vorbereitung  -  Vorrunde
Kennbuchstabe:   C 
Kenn-Nummer:
 
Auftrag 1)  Schaue dir die Bezeichnungen in einem rechtwinkligen Dreieck genau an und präge dir die Begriffe ein. Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, heißt Hypotenuse.  Die beiden Seiten des Dreiecks, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten. Die zur Hypotenuse gehörende Höhe (hier hc) trifft die Hypotenuse im Höhenfußpunkt F und der teilt die Hyspotenuse in die beiden Hypotenusenabschnitte p und q. Die Hypotenusenabschnitte addiert ergeben die Hypotenuse.  (hier:  p + q = c) 

Auftrag 2)  Schreibe in dein Heft, welches bei den Dreiecken 1) und 2) (Abb. 2) und 3)) ganz rechts die Katheten und die Hypotenusen sind.

Abb. 1)
 
Abb. 2) 
 
Abb. 3)
 
Auftrag 3) Rechts siehst du zwei verschiedene Dreiecke.  Das Dreieck ABC (Abb.1) wurde in die beiden  Teildreieck  AFC (Abb.4) und FBC (Abb.5) zerlegt. Begründe, warum die beiden Dreiecke AFC und FBC ähnlich sind.  
Schreibe dazu insbesondere auf 
a) welche Winkel sich entsprechen und daher gleich groß sind. 
b) welche Seiten sich entsprechen. 
c) welche Seitenverhältnisse gleich sind. 
 
Abb. 4)
 
Abb.5)
 
Auftrag 4) Zeichne das kleine Dreieck FBC, so in das große Dreieck AFC in Abb. 6) ein, dass C des kleinen Dreiecks auf A zu liegen kommt und A das Zentrum einer zentrischen Streckung ist, die das eine Dreieck auf das andere abbildet. Benenne auch die Seiten dieses eingezeichneten Dreiecks mit den vorgegebenen Bezeichnungen. 
Auftrag 5) Wende auf dieses Bild den 2. Strahlensatz so an, dass die Hypotenusenabschnitte p und q  in der Gleichung vorkommen. 
Auftrag 6) Mache die Bruchgleichung nennerfrei. 
Auftrag 7) Interpretiere die beiden Seiten deiner Gleichung als Flächen. 
a) Was sind das für Flächen?  
b) Welche Teile des rechtwinkligen Dreiecks dienen als Seiten dieser Flächen? 
c) Zeichne diese Flächen in der Abb. 1) im rechtwinkligen Dreieck ein. 
d) Formuliere einen Satz, der die Flächengleichheit am rechtwinkligen Dreieck beschreibt und schreibe auch die formale Gleichung für dieses Dreieck auf:
 
Abb. 6)
 
Höhensatz: 
Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche ... 
... 
..
 
 
Übungsaufgaben: 
Mit dem Höhensatz kann man demnach konstruktiv Quadrate in Rechtecke verwandeln und umgekehrt.
Aufgabe 1) Verwandle mit Hilfe des  Höhensatzes ein Quadrat mit der Seitenlänge h = 4 cm in ein flächengleiches Rechteck, dessen eine Seite 3 cm lang ist. 
Aufgabe 2) Verwandle mit Hilfe des  Höhensatzes ein Rechteck  mit der Seitenlänge p = 4,5 cm und q = 2,5 cm  in ein flächengleiches Quadrat. 
 
Aufgabe 3) Verwandle mit Hilfe des  Höhensatzes ein Rechteck  mit der Seitenlänge a = 4 cm und b = 3 cm  in ein flächengleiches Quadrat.  Wie groß ist der Flächeninhalt des Quadrats? Wie groß ist die Länge der Quadratseite? Die Längenangabe bitte exakt und nicht als Näherungswert.
Aufgabe 4) Konstruiere, ähnlich wie in Aufgabe 3, eine Strecke mit dem Längenmaß .
Aufgabe 5) Verwandle mit Hilfe des  Höhensatzes ein Quadrat mit der Seitenlänge a  = 3,8 cm in ein flächengleiches Rechteck, dessen eine Seite b = 5,7 cm lang ist.
Aufgabe 6) Schreibe die formale Gleichung  nach dem Höhensatz für das nebenstehende  Dreieck (Abb. 7) auf.
Abb. 7)