Planarbeit zu den reellen Zahlen                 hans-dieter@mallig.de)
Auftrag 1) Lass in deinem Heft eine Zeile für die Überschrift frei 
und  löse (Auftrag 2) die nebenstehende Aufgabe 1, nachdem du sie 
gründlich  durchgelesen hast.


Abbildung zu Aufgabe 1)

Aufgabe 1: Petra darf sich für ihr neues Zimmer Bodenfliesen nach eigenen Wünschen aussuchen. Dabei stellt sie sich quadratische Fliesen vor. Im Fliesengeschäft gibt es quadratische Fliesen mit der Seitenlänge a) 1 dm, b) 2 dm und c) 3 dm. Berechne die Flächeninhalte der einzelnen Fliesen a), b) und c). Notiere in Worten, wie man die Flächeninhalte der Fliesen bestimmt. Die Ergebnisse deiner Berechnungen gehören ebenso wie die Zahlen 25 oder 49 zu einer bestimmten Zahlenmenge. Wie heißt diese Zahlenmenge?
Petra ist das Plättchen mit 1 dm Seitenlänge jedoch zu klein und die Platten mit 2 dm und 3 dm Seitenlänge (letztere sind links nicht dargestellt) sind ihr zu groß. Sie hätte gern eine Fliese mit einem Flächeninhlt von 2 dm2. Solche Fliesen gibt es jedoch nicht. Der Verkäufer kann aber halbe quadratische Fliesen anbieten, die man zu Quadraten von 2 dm2 anordnen kann (siehe Abbildung).
Wie lang sind die Diagonalen bei diesem zusammengesetzten Quadrat? Bestimme die Seitenlänge b eines solchen zusammengesetzten Quadrats. Dazu kannst du so ein Quadrat in Originalgröße oder in einem Maßstab zeichnen und die Seitenlänge b abmessen. Wie kannst du überprüfen, ob dein gemessener Wert tatsächlich die Seitenlänge eines Quadrates von der Fläche   2 dm2 ist? Formuliere in Worten, nach was für einem Wert du suchen musst. Überprüfe deinen Wert. Ist er zu klein, gib einen mm zu, ist er zu groß, nimm einen mm weg und rechne erneut. Verfeinere deinen Wert immer mehr, bis du das richtige b gefunden hast oder nicht mehr weiter kommst.
Auftrag 3) Vergleiche und bespreche die Ergebnisse mit 
 deinem Nachbarn (bitte nicht brüllen). 
Auftrag 4) Überprüfe, ob die Werte 1,414 oder 1,415 für b ganz 
genau zum Flächeninhalt  A = 2 dm2 führen. Notiere dein Ergebnis.
 
 

Auftrag 5) Lies die folgenden Überlegungen genau durch und versuche sie zu verstehen:
Wir suchen also eine Dezimalzahl, deren Quadrat die Zahl 2 ergibt. 
Alle Dezimalzahlen, die wir kennen, lassen sich als Bruchzahlen (rationale Zahlen) darstellen und umgekehrt. Wir nehmen deshalb eine Bruchzahl, von der wir annehmen, dass sie unser Problem löst, und kürzen sie so lange, bis sie vollständig gekürzt ist. Weiter kann man sie nicht mehr kürzen, ihr Nenner ist ungleich 1. Diese Bruchzahl sei z/n und ihr Quadrat ist dann 2. Links wird dieser Bruch und sein Quadrat dargestellt. Überlege, ob man nach dem Quadrieren kürzen kann oder nicht. Begründe, warum das nicht geht. Begründe, ob man so kürzen kann, dass 2 herauskommt. Erkläre, warum es keine Bruchzahl gibt, deren Quadrat  die Zahl 2 ist.
Wir können also folgern: 
Es gibt Streckenlängen, 
die keine rationale Maßzahl haben.
Auftrag 6) Trage als Überschrift ein:
Längen ohne rationale Maßzahl
[Haftungsausschluss]  [Datenschutz]